Квантовая математика
Внутри нейтринного детектора «Super-Kamiokande». Источник: Kamioka Observatory / The University of Tokyo

Внутри нейтринного детектора «Super-Kamiokande». Источник: Kamioka Observatory / The University of Tokyo

Иэн Стюарт рассказывает о сложнейших математических задачах, стараясь обойтись без формул и уравнений

Великий математик Карл Гаусс однажды сказал: «Главное в математике — идеи, а не символы». Британский популяризатор науки Иэн Стюарт этот принцип положил в основу своей книги «Величайшие математические задачи». В ней он прослеживает историю главной науки через призму самых сложных, нерешаемых веками теорем и гипотез, стараясь минимально использовать математический язык формул и уравнений. Но Стюарт не отказывается от афоризма про «царицу наук». «Величайшие математические задачи» — это рассказ об истории научного знания вообще, которое развивается исключительно вследствие развития математики.

«Русская планета» с разрешения издательства «Альпина нон-фикшн» публикует отрывок из книги Иэна Стюарта «Величайшие математические задачи», посвященный истокам квантовой механики.

Пока все это происходило, кое-кто из ученых начал понимать, что атомы вовсе не являются неделимыми. Они обладают структурой, и от них можно отбивать маленькие кусочки. В 1897 году Джозеф Томсон, экспериментируя с катодными лучами, открыл, что атомы можно заставить испускать еще более мелкие частицы, электроны. И не только это: оказалось, что атомы разных элементов испускают одни и те же частицы. При помощи магнитного поля Томсон показал, что электроны несут отрицательный электрический заряд. Но атом электрически нейтрален, так что в нем должна быть какая-то часть, обладающая положительным зарядом. Обдумав это, Томсон предложил модель атома, известную как «пудинг с изюмом»: атом похож на положительно заряженный пудинг с отрицательно заряженными электронами-изюминками внутри. Но в 1909 году Эрнест Резерфорд, один из бывших студентов Томсона, провел эксперимент и продемонстрировал, что большая часть массы атома сосредоточена возле его центра. Пудинги такими не бывают.

Как можно экспериментально прозондировать такую крохотную область пространства? Представьте себе участок земли, на котором могут быть здания и другие сооружения, а может и не быть ничего. Вам не позволяется входить на эту территорию, к тому же вокруг темно, хоть глаз выколи, и ничего не видно. Однако у вас есть винтовка и неограниченный запас патронов. Вы можете стрелять наугад в направлении участка и отслеживать направление, в котором пули из него вылетают. Если участок напоминает пудинг с изюмом, то большая часть пуль пролетит насквозь по прямой. Если вам придется время от времени уворачиваться от пуль, срикошетивших прямо на вас, то можно будет сделать вывод, что впереди находится что-то довольно твердое. Наблюдая за тем, как часто пули вылетают с участка под тем или иным углом, вы сможете оценить размеры твердого объекта.

Пулями Резерфорда стали альфа-частицы — ядра атомов гелия, а участком земли для него служила тончайшая золотая фольга. Работа Томсона показала, что электроны-изюминки обладают очень малой массой, так что почти вся масса атома должна была приходиться на сам пудинг. Если бы в пудинге не было уплотнений, то большая часть альфа-частиц должна была бы пролетать насквозь. Лишь некоторые частицы могли отклоняться от своего пути, и то ненамного. Вместо этого оказалось, что небольшая, но заметная часть альфа-частиц отклонялась на достаточно большие углы, что явно не соответствовало картине пудинга. Резерфорд предложил другую метафору, которой мы часто пользуемся и сегодня, несмотря на существование более современных моделей. Речь идет о планетарной модели атома. Атом подобен Солнечной системе, предположил Резерфорд: в нем есть громадное центральное ядро, «солнце» системы, а вокруг ядра, подобно планетам, обращаются электроны. Поэтому атом, как и Солнечная система, по большей части представляет собой пустое пространство.

Резерфорд пошел дальше и нашел доказательства того, что ядро состоит из двух различных типов частиц: протонов, несущих положительный заряд, и нейтронов с нулевым зарядом. Массы тех и других очень близки и примерно в 1800 раз превосходят массу электрона. Таким образом, атомы не только не являются неделимыми, но и состоят из еще более мелких субатомных частиц. Эта теория объясняет целочисленную нумерологию химических элементов: оказывается, подсчитывается не что-нибудь, а количество протонов и нейтронов. Кроме того, она объясняет изотопы: добавление или удаление нескольких нейтронов изменяет массу атома, но сохраняет его суммарный нулевой заряд и число электронов, равное числу протонов. Химические свойства атома определяются в основном его электронами. К примеру, хлор-35 содержит 17 протонов, 17 электронов и 18 нейтронов; хлор-37 — 17 протонов, 17 электронов и 20 нейтронов. Атомная масса 35,45 возникает потому, что природный хлор представляет собой неравную смесь этих двух изотопов.

В начале XX в. появилась и новая теория, применимая к веществу в масштабе субатомных частиц. Она получила название «квантовая механика», и после ее появления физика принципиально изменилась и уже никогда не будет прежней. Квантовая механика предсказала множество новых явлений, которые затем удалось пронаблюдать в лаборатории, и существование новых элементарных частиц. Она также помогла понять прежде не поддававшиеся объяснению явления. Наконец, она изменила наши представления о Вселенной, поскольку классический ее образ, несмотря на великолепную согласованность со всеми предыдущими наблюдениями, оказался неверен. Человеческие органы чувств плохо приспособлены для восприятия реальности на фундаментальном уровне.

Эрнест Резерфорд с ассистентом Хансом Гигером в своей лаборатории, 1913 год. Источник: Alexander Turnbull Library

Эрнест Резерфорд с ассистентом Хансом Гигером в своей лаборатории, 1913 год. Источник: Alexander Turnbull Library

В классической физике вещество состоит из частиц, а свет представляет собой волну. В квантовой механике свет тоже частица, фотон; и наоборот, вещество (к примеру, электроны) может иногда вести себя как волна. Прежнее четкое деление на волны и частицы не то чтобы размывается, а вовсе исчезает, сменяясь корпускулярно-волновым дуализмом. Если воспринимать все буквально, планетарная модель атома работала не слишком хорошо, поэтому вскоре появился новый образ. Электроны не обращаются вокруг ядра, как планеты вокруг Солнца, а образуют размытое облако с центром в ядре — облако вероятностей, а не чего-то конкретного. Плотность облака в некоторой точке соответствует вероятности обнаружить в данной точке электрон.

Итак, помимо протонов, нейтронов и электронов физики знали еще одну субатомную частицу — фотон. Вскоре появились и другие. Кажущееся нарушение закона сохранения энергии побудило Вольфганга Паули предложить коллегам исправить положение — постулировать существование нейтрино, невидимой и практически необнаружимой новой частицы, которая объяснила бы утечку энергии. Необнаружимость частицы, однако, оказалась неполной, что позволило в 1956 году подтвердить ее существование. После этого как будто распахнулись шлюзы. Пионы, мюоны, каоны посыпались как из рога изобилия (последние были открыты в результате наблюдения космических лучей). Появилась новая дисциплина — физика элементарных частиц, и первым ее рабочим инструментом стал метод Резерфорда, позволявший проводить зондирование на тех невероятно малых масштабах, о которых шла речь: чтобы выяснить, как устроен тот или иной объект, нужно бомбардировать его разными «снарядами» и смотреть на результат. Началось строительство и использование все более масштабных ускорителей частиц — по существу, орудий, стреляющих теми самыми пробными снарядами. Стэнфордский линейный ускоритель имел длину 3 километра. Чтобы не строить ускорителей длиной в целый континент, их стали изгибать и замыкать в круг, чтобы частицы могли беспрерывно двигаться по ним, одновременно набирая колоссальные скорости. Это серьезно усложнило технологию, поскольку частицы при движении по кругу излучают энергию, но с этим научились справляться.

Первым результатом этих трудов стал растущий каталог элементарных вроде бы частиц. Энрико Ферми так выразил свое разочарование: «Если бы я мог запомнить названия всех этих частиц, я был бы ботаником». Однако время от времени в квантовой теории появлялись новые идеи, и список вновь менялся: предлагались очередные мельчайшие частицы, чтобы объединить уже наблюдавшиеся структуры.

Вначале квантовая механика описывала отдельные волноподобные или частицеподобные явления, но никто не мог вразумительно описать квантово-механический аналог поля. Однако игнорировать этот пробел было невозможно, потому что частицы, описываемые квантовой механикой, могут взаимодействовать и взаимодействуют с полями, которые на тот момент квантовой механикой не описывались. Пред-ставьте, что кто-то захотел бы выяснить, как движутся плане-ты Солнечной системы, притом что ньютоновы законы движения (описывающие, как движутся массы под действием сил) были бы известны, а вот его же закон тяготения (объясняющий, что представляют собой эти силы) — нет.

Но помимо частиц была и другая причина стремиться прояснить вопрос с полями. Благодаря корпускулярно-волновому дуализму то и другое теснейшим образом связано. По существу, частица — это скомканный кусочек поля, а поле — это море плотно упакованных частиц. Эти две концепции неразделимы. К несчастью, разработанные к тому моменту методы были основаны на том, что частицы похожи на крохотные точки, и никак не распространялись на поля. Невозможно просто согнать множество частиц в одно место и назвать то, что получилось, полем, потому что частицы взаимодействуют друг с другом.

Представьте толпу людей… к примеру, в поле. Может быть, они собрались там послушать рок-концерт. Если посмотреть из пролетающего вертолета, толпа людей похожа на жидкость, хлюпающую в поле — часто буквально, как, к примеру, на фестивале в Гластонбери: известно, что поле там превращается в море грязи. Внизу, на земле, становится ясно, что на самом деле жидкость — это бурлящая масса отдельных частиц: людей. Или, возможно, тесных небольших групп людей, таких как несколько гуляющих вместе друзей, которые представляют собой неделимую единицу, или как группа незнакомых людей, объединенных общей целью — к примеру, походом в бар. Но невозможно точно смоделировать толпу, просто сложив воедино поведение отдельных людей (то, как они вели бы себя в одиночестве). Направляясь к бару, одна группа преграждает путь другой, группы сталкиваются и перемешиваются. Разработка эффективной квантовой теории поля напоминает моделирование поведения толпы, в которой роль людей выполняют локализованные квантовые волновые функции.

Поль Дирак. Источник: Florida State University

Поль Дирак. Источник: Florida State University 

К концу 1920-х годов физики убедились (в частности, при помощи подобных рассуждений), что, как бы трудна ни была задача, квантовую механику придется расширять, чтобы она могла описывать не только частицы, но и поля. Естественной отправной точкой для этого стало электромагнитное поле. Необходимо было каким-то образом квантовать и электрический, и магнитный его компоненты, то есть переписать его характеристики на языке квантовой механики. Но тут возникали сложности. Математический аппарат квантовой механики был незнаком и к тому же выглядел крайне нефизически. То, что можно было увидеть и измерить, уже не выражалось добрыми старыми числами, а соответствовало операторам гильбертова пространства: математическим правилам, разработанным для работы с волнами. Эти операторы нарушали обычные постулаты классической механики. При перемножении двух чисел результат не зависит от их порядка; к примеру, 2 × 3 и 3 × 2 — это одно и то же. Это свойство сложения, известное как коммутативность, нарушается для многих пар операторов — примерно так же, как надеть сначала носки, а затем ботинки, не то же самое, что сначала надеть ботинки, а затем носки. Числа — существа пассивные, а вот операторы — активны. Действие, которое вы произведете первым, подготавливает сцену для дальнейших событий.

Коммутативность — очень приятное математическое свойство. Его отсутствие раздражает и мешает, поэтому, в частности, квантование поля оказалось такой хитрой задачей. Тем не менее она решаема. Электромагнитное поле удалось квантовать в несколько этапов. Начался этот процесс с теории электрона Дирака (1928), а завершили его Синъитиро Томонага, Джулиан Швингер, Ричард Фейнман и Фримен Дайсон в конце 1940-х — начале 1950-х годов. Получившаяся в результате теория стала называться квантовой электродинамикой.

Точка зрения, использованная при разработке этой теории, давала подходы к методу, который мог бы применяться и более широко. В основе его лежала идея, восходившая непосредственно к Ньютону. Пытаясь решить уравнения, связанные с законом Ньютона, ученые открыли несколько полезных общих принципов, известных как законы сохранения. Дело в том, что при движении системы массивных тел некоторые величины остаются неизменными. Самая известная из них — энергия, которая бывает двух видов: кинетическая и потенциальная. Кинетическая энергия определяется тем, насколько быстро движется тело, а потенциальная — представляет собой работу, проделанную определенными силами. Когда камень падает со скалы, он как бы обменивает потенциальную энергию, связанную с тяготением, на кинетическую. Говоря обычным языком, он падает и ускоряется. Кроме этого, сохраняются такие величины, как импульс, равный произведению массы на скорость, и момент импульса, связанный со скоростью вращения тела. Сохраняющиеся величины связывают различные переменные, используемые для описания системы, и таким образом уменьшают их число.

К началу XX века ученые разобрались в том, откуда взялись законы сохранения. Эмми Нетер доказала, что каждая сохраняющаяся величина соответствует непрерывной группе симметрий в уравнениях. Симметрия — это математическое преобразование, при котором уравнения не меняются. Все симметрии образуют группу с операцией «провести одно преобразование, затем другое». Непрерывная группа — это группа симметрий, определенная единственным действительным числом. К примеру, вращение вокруг заданной оси есть симметрия, и угол вращения может задаваться любым действительным числом, поэтому вращения — на все возможные углы — вокруг заданной оси образуют непрерывную группу. Из сохраняющихся величин с этой симметрией связан момент импульса, или вращательный момент. Точно так же сохранение импульса связано с непрерывной группой перемещений в заданном направлении. А как насчет энергии? Ее сохранение связанно с временными симметриями — уравнения неизменны в любой момент времени.

Стюарт И. Величайшие математические задачи / (Перевод с английского — Наталья Лисова). — М.: Альпина нон-фикшн, 2015

Меньше свободы для Каталонии Далее в рубрике Меньше свободы для КаталонииПрезиденту Каталонии грозит срок за проведение опроса о независимости от Испании

Комментарии

23 ноября 2014, 00:26
Хорошая книжка. Изложение, понятное любому разумному человеку без специальной подготовки.
23 ноября 2014, 14:27
Из беглого прочтения этого отрывка видно, что не обошлось без огрехов. В переводе - помощником Резерфорда (подпись к фото) был не некий "Гигер", а всем известный благодаря своему счетчику ионизирующего излучения Ханс Гейгер (такое написание принято у нас). По сути - не Резерфорд придумал концепцию нейтронов, а Джеймс Чедвик в 1932 г. (Нобелевская премия 1935). Чуть ранее, в 1930, Амбарцумян и Иваненко доказали, что в ядре атома должны быть нейтральные частицы (есть статья в международном французском журнале). Хорошая популяризация - это здОрово, однако и тут научная точность не повредит. Правда, неточности иногда бывают и в научных публикациях. Для общего же "культурного" ознакомления с предметом - весьма доступно и живо.
23 ноября 2014, 19:24
Очень интересная история, но все же так до конца и не понятно где четкая грань отделяющая квантовую математику от квантовой физики.
23 ноября 2014, 22:24
если следовать формальной логике то отличае такое же как между просто математикой и просто физикой)
24 ноября 2014, 09:28
Каждый атом в твоем теле - частица взорвавшейся звезды. Возможно, атомы в твоей левой руке взяли начало в одной звезде, атомы в правой - в другой. Это самое поэтичное из всего, что я знаю о физике. Мы все - звездная пыль. Нас бы не было здесь, если бы звезды не взорвались.
Так что забудьте Иисуса, звезды умерли ради того, чтобы мы могли быть здесь и сейчас.

© Лоуренс Максвелл Краусс, американский астрофизик
24 ноября 2014, 23:52
Отличные слова.. Можно взять эпиграфом какой нибудь современной книги...
25 ноября 2014, 12:37
Эта фраза уже в анналах истории и ее используют эпиграфом к фильмам НАСА о космосе и квантовой физике.
24 ноября 2014, 09:43
Звезды умерли, и мы умрем, м наши тела зароют в землю, чтобы дать жизнь миллионам микроорганизмов , мы часть планеты земля, она наша мать и наше общее все
24 ноября 2014, 19:43
Только планету-мать мы что-то совсем не бережем. Может,если бы все думали как вы все было бы по другому...
24 ноября 2014, 13:48
Квантовая механика это поразительная наука, единственная в своем роде, которая утверждает, что чудо в самом широком его понимании возможно.
24 ноября 2014, 13:52
Писатель Стогов не так давно опубликовал похожую книгу по астрономии , написанную "человеческими языком". Очень понравилось, и всем советую
24 ноября 2014, 16:10
Спасибо, действительно тема интересная,. но не каждому давно выразить сложные алгоритмы в простой понятной обывателю форме.
24 ноября 2014, 16:34
Давно подозревал, что классическая математическая наука не идеальна. Но вышеизложенный подход не лучше и призван все окончательно запутать. Да и есть ли в этом мире хоть что-то идеальное, кроме самой Природы? Вряд ли.
Авторизуйтесь чтобы оставлять комментарии.
Интересное в интернете
Читайте самое важное в вашей ленте
Подпишитесь на «Русскую планету» в социальных сетях и читайте наиболее актуальные материалы
Каждую пятницу мы будем присылать вам сборник самых важных
и интересных материалов за неделю. Это того стоит.
Закрыть окно Вы успешно подписались на еженедельную рассылку лучших статей. Спасибо!
Станьте нашим читателем,
сделайте жизнь интереснее!
Помимо актуальной повестки дня, мы также публикуем:
аналитику, обзоры, интервью, исторические исследования.
личный кабинет
Спасибо, я уже читаю «Русскую Планету»